几何问题一般涉及几何图形的周长、面积、角度、表面积与体积等。最常见的形式是给出一个具体图形,直接计算某一个量,一般来说,几何图形的基本公式是解决几何问题的关键
一、常用几何公式
【例题】如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=12,AD的长度是CD的2倍,四边形EBCD与△AED的面积之比为3:2,问AE的长度是多少?
A.6.9 B.7.1 C.7.2 D.7.4
解析:此题答案为C。由四边形EBCD与△AED的面积之比为3:2可知,△AED与△ABC的面积之比是2:5,根据三角形的面积公式有:,由AD的长度是CD的2倍可知会AD/AC=2/3,代入上式可知AE/AB=3/5。所以AE=(3/5)AB=3/5×12=7.2。
【例题】如图所示,梯形ABCD的对角线AC上BD,其中AD=1/2,BC=3,,BD=2.1。问梯形ABCD的高AE的值是多少?
A.43/24 B.1.72 C.42/25 D.1.81
解析:此题答案为C。已知AC⊥BD,梯形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积=。又根据梯形的面积公式可知
【例题】已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米,先从它上面切下一个最大的正方体,然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。问切除这两个正方体后,最后剩下部分的体积是多少?
A.212立方分米 B.200立方分米 C.194立方分米 D.186立方分米
解析:此题答案为B。这个立方体的最短边长6分米,所以能切掉的最大方体体积为6×6×6=216立方分米。考虑8×10的平面的切法,
如图所示,剩下的部分最大能切出4×4的正方形,即能切下4×4×4=64立方分米的正方体。所以剩下部分的体积为10×8×6-6×6×6-4×4×4=200立方分米。
【例题】一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米,现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来,要求,从纸上剪下的部分不得用做贴补,请问这张纸的大小可能是下列哪一个?
A.长25厘米、宽17厘米 B.长26厘米、宽14厘米
C.长24厘米、宽21厘米 D.长24厘米、宽14厘米
解析:此题答案为C。该长方体的表面积为2×(20×8+20×2+8×2)=432平方厘米,这张纸的面积一定要大于长方体的表面积,选项中只有C项符合。如图所示,实线部分可折叠得到题中盒子,说明这张纸能将这个盒子完全包裹起来。
二、常用几何性质与定理
1.角度
(1)n边形(凸多边形)内角和为(n-2)×180°。
(2)角平分线:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角。
角平分线上的点到角的两边距离相等。
2.平行线
(1)在同一平面内,平行于同一直线的两直线平行,垂直于同一直线的两直线平行。
(2)两直线平行甘同位角、内错角相等,同旁内角互补。
(3)三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
∠ADE=∠ABC(同位角相等);∠CDE=∠DCB(内错角相等);∠BDE+∠DBC=180°(同旁内角互补)。
3.三角形
(1)在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
(2)面积性质:同底等高的两个三角形面积相等;
同底的两个三角形的面积之比等于对应高之比;
同高的两个三角形的面积之比等于对应底之比。
(3)特殊三角形及其性质。
(4)全等与相似。
4.几何图形性质
(1)几何图形的缩放:对于常见的几何图形,若将其各边长变为原来的n倍,则其周长变为原来的n倍,面积变为原来的n²倍,体积变为原来的n³倍。
(2)几何极限理论:平面图形:周长一定,越趋近于圆,面积越大;面积一定,越趋近于圆,周长越小。立体图形:表面积一定,越趋近于球,体积越大;体积一定,越趋近于球,表面积越小。
(3)三角形的常见考点
①两边之和大于第三边。
两边之差小于第三边。
②较小的角对应边也较小。
【例题】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体以及正二十面体,其中体积最大的是( )。
A.四面体 B.六面体 C.正十二面体 D.正二十面体
解析:此题答案为D。根据几何极限理论,表面积一定,越趋近于球体,体积越大。正二十面体最接近球体,故当选。
【例题】把圆的直径缩短20%,则其面积将缩小()。
A.40% B.36% C.20% D.18%
解析:此题答案为B。根据几何图形的缩放性质,圆的直径缩短为原来的l-20%=80%,面积缩小为原来的(80%)2=64%,即缩小了1-64%=36%。
【例题】如图所示,△ABC中DE∥BC,且BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。已知 AB=25.4cm,BC=24.5cm,AC=20cm。问△ADE的周长是多少?
A.45.4cm B.45.1cm C.44.8cm D.44.5cm
解析:此题答案为A。已知DE∥BC,则有∠DOB=∠OBC,又已知BO是∠ABC的角平分线,则∠DBO=∠OBC,所以∠DOB=∠DBO,故△DB。为等腰三角形,即有BD=DO。同理可得,OE=EC,所以△ADE的周长就等于AD+DO+OE+AE=(AD+DB)+(EC+AE);AB+AC=25.4+20=45.4cm。
【例题】如图所示,△ABC是直角三角形,四边形IBFD和四边形HFGE都是正方形,已知At=1cm,IB=4cm,问正方形HFGE的面积是多少?
解析:此题答案为C。由AB∥DF可知∠IAD=∠HDE,又∠AID=∠DHE=90°,故△AID_△DHE,则有AI/ID=DH/HE,设正方形HFGE的边长为x,则有1/4=(4-x)/x,解得x=16/5
故正方形HFGE的面积为
【例题】一个正八面体两个相对的顶点分别为A和B,一个点从A出发,沿八面体的棱移动到B位置,其中任何顶点最多到达1次,且全程必须走过所有8个面的至少1条边,问有多少种不同的走法?
A.8 B.16 C.24 D.32
解析:此题答案为A。如图所示,把这个正八面体的各顶点标记。从A点出发沿棱移动到达B点。任何顶点最多到达1次,说明A和B分别是起点和终点,且中途不能经过。从A点到1点后只能有两种路径满足经过所有8个面即A-1-2-3-4-B或A-1-4-3-2-B。依此类推,从A到B有2×4=8种走法。
平面解析几何
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、并且有公共原点的数轴。其中横轴为x轴,纵轴为y轴,如图:
图中两坐标轴的交点。做直角坐标系的原点,取向右和向上为正方向,单位长度为1。
点的坐标:用一对有序数对表示平面上的点,这对数叫坐标。表示方法为(a,b)。a是点在横轴上对应的数值,B是点在纵轴上对应的数值。
象限:X轴和y轴把坐标平面分成四个象限(如图)。象限以数轴为界,横纵坐标轴上的点不属于任何象限。
2.直线方程
若直线与X轴交于(a,o),与y轴交于(o,b),则直线可表示为y=kx+b。其中k为斜率(直线与x轴正向夹角的正切值),b为直线在y轴上的截距。(注:a≠0时,k存在;当a=0时,直线方程为y=b。)
【例题】在平面直角坐标系中,如果点p(3a-9,1-a)在第三象限内,且横坐标、纵坐标都是整数,则点P的坐标是()。
A.(-1,-3) B.(-3,-1)C.(-3,2) D.(-2,-3)
解析:此题答案为B。已知点P在第三象限内,则有3a-9<0,1-a<0,解得1<a<3。又因为横坐标、纵坐标都是整数,故。是整数,故a=2,则点p的坐标为(-3,-1)。
【例题】直线2x-y+4=0与x轴的哪一点相交?
A.(1,6) B.(2,8) C.(0,0) D.(-2,0)
解析:此题答案为D。与x轴相交,即y=0,代入2x-y+4=0,解得x=-2。即交于点(-2,0)。
立体几何
三、重点难点指津
(1)对于文字型几何题,考生首先需要采用图示法。根据题干内容画出草图,将文字条件转化成图形语言,帮助分析问题。
(2)计算复杂图形的周长、面积、体积时,要利用割补法对图形进行适当的切割、组合,把它变成规则图形,可以减少计算量。
(3)在计算空间问题时,可以使用转化法,即降雏法,将空间立体几何问题转化为平面问题来解决。但需要注意的是,线条之间的相对位置关系要保证准确。