和差倍比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学运算题,是数学运算中比较简单的问题。但这类问题对计算速度和准确度要求较高,考生在平时训练中,应注意培养自己的速算能力。
连比问题
在数学运算中,连比问题的题干多是给出三个已知量中任意两个量的两个比例式,通过对两个比例式的转化,得到三个量的比例关系。
重难点指津
(1)和差倍问题的关键在于“1倍量”的计算,考生要正确理解题意。情况比较复杂时,可采用方程法简化思路。
(2)比例问题的关键是找准各分量、总量及两者之间的比例关系。当题干涉及两个数的比,且两个数必须为整数时,可运用数字特征对选项进行筛选,即排除法的使用。分数、百分数皆可适用。
(3)连比问题可通过找最小公倍数,直接确定答案。
【例题】三个单位共有180人,甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人,甲单位比乙单位少2人,求甲单位的人数?
A.48人
B.49人
C.50人
D.51人
解析:此题答案为B。设甲单位为x人,则乙单位为(x+2)人,丙单位为(x+x+2-20),有x+x+2+(x+x+2-20)=180,解得x=49人。
点拨:此题为和差倍问题中的和差关系。根据“甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人”,由和差关系公式可知,甲、乙两个单位人数之和为(180+20)÷2=100人;根据“甲单位比乙单位少2人”,再次利用和差关系公式,甲单位有(100-2)÷2=49人。
【例题】某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少61人,男会员的人数比女会员的3倍多2人,问该俱乐部共有会员多少人?
A.476人
B.478人
C.480人
D.482人
解析:此题答案为D。此题主要考查的是男会员和女会员人数之间的关系,题中给出了他们之间的两种关系,可以通过这两个关系的等价性来求出二者具体的数值。
设女会员人数为x,则男会员人数为3x+2,由题意可知:
x+61=1/2(3x+2),解得x=120,即女会员有120人,男会员有120x3+2=362人,总共有会员120+362=482人。
【例题】甲、乙各有钱若干元,甲拿出1/3给乙后,乙再拿出总数的1/5给甲,这时他们各有160元。问甲、乙原来各有多少钱?
A.120元,200元
B.150元,170元
C.180元,140元
D.210元,110元
解析:此题答案为C。可用逆推法快速解答。
即甲、乙原来各有180元、140元,选择C。
【例题】A、B、C三人玩游戏,开始时三人的钱数之比为7:6:5,游戏结束后三人的钱数之比变为6:5:4,其中有一个人赢了12元,则这个人原来有多少元钱?
A.420
B.480
C.360
D.300
解析:此题答案为A。三人的总钱数没有改变,可将钱数之比进行转化,使两次钱数之比的总份数相等。
所以A原来有35×12=420元。
【例题】师徒二人加工一批零件,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时,师傅比徒弟多加工100个零件,求师傅和徒弟一共加工了多少个零件?
A.200
B.400
C.500
D.600
解析:此题答案为B。师傅与徒弟的工作效率之比1/9:1/15=5:3,工作时间相同,工作量与工作效率成正比,所以师傅与徒弟完成的零件数之比为5:3,即师傅完成5份,徒弟完成3份,则每份为100÷(5-3)=50个,两人一共完成50×(5+3)=400个零件。
一点通:
解和差倍问题时,要注意和(差)与倍数的对应关系。如果不是整数倍,想办法转化得到整数倍,再应用公式。在情况比较复杂时,采用方程法思路往往比较简单。
解比例问题的关键是找准各分量、总量以及备分量与总量之间的比例关系,有时根据题干数字特征,尤其是遇到含分数、百分数的题,可结合选项排除。
拓展:
1.已知两数的和与差,求这两个数。
【口诀】:
和加上差,越加越大;
除以2,便是大的;
和减去差,越减越小;
除以2,便是小的。
例:已知两数和是10,差是2,求这两个数。
按口诀,则大数=(10+2)/2=6,小数=(10-2)/2=4
2.和比问题
已知整体求部分。
【口诀】:
家要众人合,分家有原则,
分母比数和,分子自己的,
和乘以比例,就是该得的。
例:甲乙丙三数和为27,甲:乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。
分母比数和,即分母为:2+3+4=9;
分子自己的,则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9,3/9,4/9,
和乘以比例,所以甲数为27×2/9=6,乙数为:27×3/9=9,丙数为;27×4/9=12
3.差比问题(差倍问题)
【口诀】:
我的比你多,倍数是因果,
分子实际差,分母倍数差。
商是一倍的,
乘以各自的倍数,
两数便可求得。
例:甲数比乙数大12,甲:乙=7:4,求两数。
先求一倍的量,12/(7-4)=4,
所以甲数为:4×7=28,乙数为:4×4=16。
4.余数问题
【口诀】
余数有(N-1)个
最小的是1,最大的是(N-1)。
周期性变化时,
不要看商,
只要看余。
例:如果时钟现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈后是几点钟?
分针旋转一圈是1小时,旋转24圈就是时钟转1圈,也就是时钟回到原位。
1980/24的余数是22,所以相当于分针向前旋转22个圈,分针向前旋转22个圈
相当于时针向前走22个小时,时针向前走22个小时,也相当于向后24-22=2
个小时,即相当于时针向后拨了2小时。即时针相当于是18-2=16(点)。