方阵问题是指许多人或物按一定条件排成正方形(方阵),根据方阵找出规律,进而解决问题。在解决问题时,首先要搞清方阵中的一些量(如层数、最外层人数、最里层人数、总人数)之间的关系,再选择方阵问题中常用的公式及性质。
图1是实心方阵,图2是一层空心的方阵,图3是二层空心方阵,从这三个图我们可知:
(1)每向里一层,边上的点数就少2,每一层少8;
(2)每层点数=(每边点数一1)×4;每边点数=每层点数÷4+1;
(3)实心方阵点数=每边点数×每边点数。
1、常用公式及性质
(1)方阵相邻两层人数相差8(此处需注意一种特殊情况,当实心方阵的最外层每边人数为奇数时,从内到外每层人数依次是1、8、16、24……);
(2)实心方阵总人数=最外层每边人数的平方(核心公式);空心方阵总人数利用等差数列求和公式求解(首项为最外层总人数,公差为-8的等差数列);
(3)方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4;
(4)在方阵中若去掉一行一列,去掉的人数=原来每行人数×2-1;在方阵中若去掉二行二列,去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。
(5)实心方阵:方阵总人数=(最外层每边人数)2=(外圈人数÷4+1)2=N2
最外层人数=(最外层每边人数-1)×4
(6)空心方阵:方阵总人数=(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2
=(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
(7)无论是方阵还是长方阵:相邻两圈的人数都满足:外圈比内圈多8人。
(8)N边行每边有a人,则一共有N(a-1)人。
(9)实心长方阵:总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4
(10)方阵:总人数=N2 外圈人数=4N-4
例:有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人? 解:(10-3)×3×4=84(人)
2、重点难点指津
(1)解题时要先确定方阵的类型,搞清方阵中一些量(如层数、最外层人数、最里层人数和总人数)之间的关系,然后套用正确的公式求解。
(2)由于方阵自身的特点,在解题过程中可灵活应用方阵的性质(如实心方阵的总人数为平方数、空心方阵的总人数为4的倍数),快速解题。
【例题】一个正方形队列,如减少一行和一列会减少19人,原队列有几个人?
A.81 B.100
C.121 D.144
解析:此题答案为B。观察下面一组图:
可以看出,如果去掉一行一列,那么有且只有1个人同时属于被去掉的行与列。
减少一行和一列会减少19人,则每边有(19+1)÷2=10人,所以原队列有102=100人。
【例题】五年级学生分成两队参加广播操比赛,排成甲、乙两个实心方阵,其中甲方阵最外层每边的人数为80如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人,且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级一共有多少人?
A.200 B.236
C.260 D.288
解析:此题答案为C。空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数,若丙方阵为实心的,那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数,即实心丙方阵比乙方阵多8²×2=128人。
丙方阵最外层每边比乙方阵多4人,则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人,即多了16÷8=2层。这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人,则丙方阵最外层人数为(128+8)÷2=68人,丙方阵最外层每边人数为(68+4)÷4=18人。那么,共有l82-82=260人。
点拨:甲方阵为8²=64,乙方阵总人数为平方数,也就是说五年级学生总人数减去64以后为平方数,选项中只有C项满足。
拓展:
(1)排队型:假设队伍有N人,A排在第M位;则其前面有(M-1)人,后面有(N-M)人。
(2)爬楼型:从地面爬到第N层楼要爬(N-1)楼,从第N层爬到第M层要爬层。