行程问题五大难点：走走停停、来回接送、变速运动、变时运动、多次相遇追击，今天我们来研究一下其中的变速运动和变时间运动，因为这两个部分难题很多，所以我们只列举了一些比较有代表性的、难度比较大的。
第一部分 变速运动
①一方变速
例1：上午8点整，甲从A地前往C地，8点20分甲与从C地向A地前行的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是（ ）。
A.8：00 B.8：05 C.8：08 D.8：10
解析： 甲 ┃-------┋-----------------┃ 乙
A B C
假设在B点相遇；甲从A→B用了20分钟，乙从B到A用了10分钟，所以乙的速度是甲的2倍，设开始甲速度1、乙速度2，则根据甲的速度和时间，AB=1*20=20，BC=3*10=30，所以乙走BC需要的时间=30/2=15分钟，则乙出发15分钟后与甲相遇在B点，所以乙的出发时间为8:05，选B。
例2：甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以30千米/时的速度出发20分钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来1.5倍的速度回甲公司拿，而他自己则以5千米/时的速度步行去乙公司。结果司机和马经理同时到达乙公司。甲乙两公司的距离是（ ）千米。 【广州2012】
A. 12.5 B. 13 C. 13.5 D. 14
解析：走了20分钟走了10千米，司机此后的速度为45，马经理速度为5，速度比为9:1，设全程为s，相同时间内速度比=路程比，可得9:1=（s+10）:（s-10），差8份对应20，所以马经理走了一份=2.5=s-10，所以s=12.5，选A。
例3：一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定的时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶时，车速必须增加5公里，才能准时到达B地。则汽车后来的行驶速度是（ ）。 【上海B2011】
A. 40公里/小时 B. 45公里/小时 C. 50公里/小时 D. 55公里/小时
解析：
解法一：设后来的速度为x，之前的速度为(x-5)，可得180/(x-5) -180/x=0.5，代入选项可得x=45时满足，选B
解法二：设后来的速度为x，之前的速度为(x-5)，可得速度比为（x-5）:x，时间比为x:(x-5)，差5份对应30分钟=1/2小时，所以以前的时间为x/10，可得x(x-5)/10=180，x(x-5)=1800，可得x=45，选B。
例4：甲从自己家去外婆家，如果每小时走15千米，就可以比原计划早到24分钟，如果每小时走12千米，就会比原计划晚到15分钟，若甲每小时走7.8千米，会比原计划晚（）小时到达？
A、1 B、1.5 C、2 D、2.5
解析：
解法一：速度比15:12=5:4，时间比4:5，差了一份=39分钟，所以原来需要39*4分钟，总路程39*4*15/60=39千米；计划时间=39/15+（24/60）=2.6+0.4=3小时，实际用了39/7.8=5小时，所以晚2小时，选C。
解法二：盈亏思想，每小时走15千米，按规定时间可以多走15*24/60=6千米；每小时走12千米，按规定时间还差12*15/60=3千米；所以总时间=（6+3）/（15-12）=3小时，总路程=3*15-6=39千米，每小时7.8千米需要39/7.8=5小时，晚2小时，选C。
解法三：速度比15:12，时间比4:5；速度比12:7.8，时间比13:20；所以三种速度的时间比为52:65:100，52和65差了13份对应39分钟，65和100差了35分对应35*39/13=105分钟，比速度12的时候还要晚105分钟，所以迟到105+15=120分钟，选C
例6：张明的家离学校4千米，他每天早晨骑自行车上学，以20千米／时的速度行进，恰好准时到校。一天早晨，因为逆风，他提前0.2小时出发，以10千米／时的速度骑行，行至离学校2.4千米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平时提前5分24秒到校。他遇到李强之后每小时骑行多少千米？ 【北京2009】
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
解析：以前张强从家到学校需要的时间为4/20（*60）=12分钟，这天提前了12分钟、提前了5份24秒（5.4分）到校，所以实际用的时间=12+12-5.4=18.6分；前4-2.4=1.6千米用的时间为1.6/10（*60）=9.6分，后2.4千米用的时间为18.6-9.6=9分=3/20小时，所以后2.4米的速度为2.4/（3/20）=16千米/小时，选A。
②双方变速
例1：小张和小李二人在400米标准环形跑道起点处，同向分别以120米/分钟，40米/分钟的速度度同时出发，小张每追上小李一次，小张的速度减少10米/分钟，小李的速度增加10米/分钟，当二人速度相等时，则他们需要的时间是（ ）。 【江苏2013】
A.40+（1/3） B. 40+（2/3） C. 41+（1/3） D. 41+（2/3）
解析：速度和为120+40=160始终不变，速度相同时张和李的速度都为80，所以需要相遇四次；第一次速度差80、追击距离400需要的时间为400/80=5分钟；第二次速度差60、追击距离400需要的时间为400/60=20/3分钟；第三次速度差40、追击距离400需要的时间为400/40=10分钟；第四次速度差20、追击距离400需要的时间为400/20=20分钟，第四次追上以后两人速度相同，所以总时间=5+（20/3）+10+20=41+（2/3）分钟，选D。
例2：甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？ 【北京2009】
A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310
解析：开始时甲乙速度比为8:1，每相遇一次，甲的速度变为原来的2/3、乙的速度变为原来的4/3，则甲乙速度比依次为4:1、2:1、相等；
第一次相遇过程速度比8:1，差了7份=210，两人合走了9份=270；
第二次相遇过程速度比4:1，差了3份=210，两人合走了5份=350；
第三次相遇过程速度比2:1，差了1份=210，两人合走了3份=630；
所以总路程=270+350+630=1250，选A
例3：甲乙两人从距离为60千米的AB两地同时相向而行，6小时后相遇。如果二人的速度都增加1千米，则相遇地点距前一次相遇地点1千米的距离。已知甲的速度比乙快,则甲的速度为( )千米/小时？
A.8 B.15/2 C.7 D.6
解析：我们设原来甲速度为a、乙速度为b（a＞b），则原来甲走的路程为60a/（a+b），现在甲走的路程为60(a+1)/（a+b+2）,要比较这两个路程，用差分法可得差为60/2=60a/2a，跟较小的数60a/（a+b）进行比较，（60a/2a）小于60a/（a+b），所以第二次相遇时甲走的路程应该减少；或者我们可以用极端思维，开始甲速度1、乙速度0，相遇点在B地，甲乙速度都增加1，甲速度2、乙速度1，相遇点离甲地为2/3个全程；甲乙速度再增加1，甲速度3、乙速度2，相遇点离甲地3/5个全程，可以看出随着两人速度增加，甲走的路程是减少的。
第一次相遇为6小时，两人速度和=60/6=10；第二次相遇两人速度和为12，所以时间为60/12=5小时，这5个小时跟以前6小时的前5小时相比，多走了5千米，但是因为少走了1小时，比以前还少走1千米，所以1小时应该对应6千米，选D
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A D C B
正常情况下在C相遇，现在走了5小时在D相遇，AD段的5小时跟以前的5小时相比多走了5千米，加上DC段1千米等于以前6小时的路程，可得1小时路程为5+1=6千米。
例4：甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在距离A地720米的地方相遇，两人返回，返回时甲速度提高1/3,乙速度提高1/9,甲乙到达A地B地后，立即相向而行，在距离A地880米的地方相遇，问AB两地相距多少米？
A.1800 B.1600 C.1500 D.1200
解析：单独看甲的话，从出发到第一次相遇走了720米，从第一次相遇到第二次相遇走了880+720=1600米，两次路程比为720:1600=9:20，两次速度比为3:4，所以两次时间比为3:5；设全程为s，单独看乙，从出发到第一次相遇走了（s-720），从第一次到第二次相遇走了（s-720+s-880）=2s-1600，两次速度比为9:10、时间比为3:5，所以路程比为27:50，可得（s-720）：（2s-1600）=27:50，s-720对应27份，s为9的倍数，选A。
例5：甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。那么A，B两地相距多少千米？
A.400 B.420 C.450 D.500
解析：开始设速度甲5乙4，相遇时甲走了5份、乙走了4份，相遇后甲速度变为4、乙速度变为4.8，甲还差4份到B地、速度4，所以需要的时间为1；相同时间内乙走了4.8份，还差5-4.8=0.2份到A地，所以0.2份对应10千米，总共9份对应450千米，选C。
例6：一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为4:3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增加20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有17公里。东、西两个车站的距离是多少公里（ ）？
【2014广东】
A.59.5 B.77 C.119 D.154
解析： 东站│-----┆---------------A-----------------│西站
客车 B 4x 3x 货车
时间相同，路程比等于速度比，设到A点相遇时客车走了4x,货车走了3x,假设客车速度4,货车速度3,到A点相遇后客车速度变为3.6,货车速度变为3.6,速度相同，所以客车行驶了3x到西站时，货车也行驶了3x到B点，离东站还差4x-3x=17,所以x=17,7x=119,选C
例7：甲从A地步行到B地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地出发，骑了10公里时追到甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时？ 【湖南2005】
A. 12 B. 10 C. 16 D. 15
解析：假设乙一直骑自行车前进，走完全程只需5小时-1小时40分=3小时20分，甲步行走完全程需要10小时，可得骑车和步行的速度比为3:1，同样10公里，骑车和步行差了100分钟，速度比3:1，时间比1:3，差了两份=100分钟，所以骑车走10公里需要50分钟=5/6小时，可得骑车的速度=10/（5/6）=12，选A。
第二部分：变时运动
例1：甲乙两人开车从AB相向而行，甲速度为每小时100千米，乙为每小时80千米，相遇地点在C点，如果甲晚出发一个小时，则相遇地点变成D点，已知AB中点M与CD距离相等，求AB长？؟
A.720千米 B.400千米 C.480千米 D.360千米
解析： ┃--------------┊----┋-----┊--------------┃
A D M C B
第一次相遇点为C点，相同时间路程比等于速度比，所以AC：CB=5:4，设AC=5份、CB=4份，第二次相遇点为D点，由于AD=BC=4份，第二次相遇时甲走了AD=4份，相同时间内乙应该走4*4/5=3.2份，实际乙走了5份，所以乙提前的1小时走了5-3.2=1.8份，对应80千米，所以总长9份对应9*80/1.8=400，选B。
例2：甲乙两人同时分别从AB两地出发，甲每分行80米，乙每分行60米，两人在途中C地相遇，若甲晚出发7分，两人在途中D地相遇，且C、D两地距中点相等，AB两地相距多少米？
A.1680 B.1840 C.1720 D.1950
解析： ┃-----------------┊----┋----┊-----------------┃
A D O C B
解法一：甲乙速度比80:60=4:3，所以AC：CB=4:3，假设AC为4份、CB为3份，则总长为7份，AO=3.5份，DO=OD=0.5份；第二次在D点相遇，甲走了AD=3份，相同时间内乙应该走3*3/4=9/4份，实际乙走了4份，说明乙前七分钟走了4-（9/4）=7/4份，对应7*60=420，所以总长7份=420*4=1680。
解法二：因为DO=OC，所以第一种相遇时乙走的距离和第二种相遇甲走的距离相同，假设第一次相遇时乙走的时间为T(此时甲走的时间也为T)，第二次相遇时甲走的时间为t,乙和甲速度比为3:4，相同路程（AD）所以时间比T：t=4:3，根据两人走的总路程相等，可得140T=80t+60(t+7)=140t+420，整理得T=t+3，差一份=3，所以T=12，总路程=140T=1680，选A。
例3：快车和慢车从甲乙两地相对开出。如果慢车先出发2小时，两车相遇时慢车超过中点24千米；如果快车先出发2小时，两车相遇在离中点72千米处；如果两车同时开出，4小时相遇。快车比慢车每小时快多少千米？
A.12 B.24 C.48 D.96
解析：
解法一：① 慢车先开2小时，两车相遇时慢车超过中点24千米，可得:两车一共行了 1 个全程，且快车比慢车少开了 2 小时，少行了 24*2 = 48千米；② 快车先开出2小时，相遇时离中点72千米处，可得:两车一共行了 1 个全程，且快车比慢车多开了 2 小时，多行了 72*2 = 144千米；将 ① 和 ② 两个过程相加，可得:两车一共行了 1+1 = 2 个全程，且快车和慢车行驶时间相同，快车比慢车多行了 144-48=96 千米；可得:同时开出，8小时可以相遇，相遇时快车比慢车多行 96千米，所以，快车比慢车每小时多行 96/8 = 12 千米，选A
解法二：我们设的慢车速度为a、快车的速度为b、全程为s，则正常相遇时的时间t1=s/(a+b)，此时慢车走的路程=sa/(a+b)、快车走的路程=sb/(a+b)；慢车提前2小时，快车走的路程为(s-2a)b/(a+b)，则快车比正常相遇时少走的路程为S快=2ab/(a+b)；快车提前2小时，慢车走的路程为(s-2b)a/(a+b)，则慢车比正常相遇时少走的路程为S慢=2ab/(a+b)；可得S快=S慢；说明慢车提前时快车距正常相遇点的距离=快车提前时慢车距正常相遇点的距离，用图示表示
快车→ ┃------------------┊-------┊------------------┃-------┃ ←慢车
-24 中点 72
因为-24离正常相遇点和72离正常相遇点的距离相同，所以正常相遇点应该为（72-24）/2=24，所以正常相遇的时候，4小时快车比慢车多走了24*2=48，则快车比慢车速度快48/4=12，选A
掌握了例3，我们一起来研究一道曾经难倒无数大神、流行于各大QQ群的奥数题。
例4：甲乙两人同时从AB出发8小时相遇，如果甲先出发3小时，则在超过中点320千米处与乙相遇；如果乙先出发3小时，则在超过中点80千米处与甲相遇。求AB距离。
A.1680 B.1800 C.1920 D.2160
解析：根据例3的知识我们可以轻松得到（320-80）/2=120，所以甲乙速度差=120*2/8=30，并且甲的速度是大于乙的；我们设乙的速度为x，则甲的速度为x+30，设全程为s，可得s=(x+x+30)*8=16x+240，则s/2=8x+120；甲先出发3小时，可得甲行驶的总时间=（8x+120+320）/(x+30)，乙行驶的总时间=（8x+120-320）/x，甲的时间-乙的时间=3，代入整理可得二元一次方程组3x2-310x-6000=0，解得x=120，所以总路程=16x+240=2160，选D。
