插板法原理及应用（1）
隔板法适用类型：一组相同的元素分成若干不同的组，要求每组至少一个元素。
插板法理论分析：假定M个元素，分成N组。M个元素中间有（M-1）个空，如果想分为N组的话需要插入（N-1）个木板，所以方法数为：C（M-1，N-1）；
注意插板法的三要件：①相同元素分配；②所分组是不相同的；③每组至少分到一个。
插板法的三种基本形式：
（1）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A.21 B.28 C.32 D.48
解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C（7 2）=21种，选A
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对于不满足第三个条件---即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。
（2）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法？
A.3 B.6 C.12 D.21
解析：先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个；转化为5个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C（4 2）=6种，选B
（3）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？
A.15 B.28 C.36 D.45
解析：此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去；转化为11个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C（10 2）=45种，选D
此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C（9 2）=36种、插同一个空有C（9 1）=9种，36+9=45种；
对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。
8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0个球，有C（10 2）种；
8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C（7 2）种；
8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C（4 2）种；
这三种基本形式，要牢牢掌握。
例1：某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问共有多少种不同的发放方法？ 【国家2010】
A.12 B.10 C.9 D.7
解析：每个部分先提前分8份材料，还剩下30-3×8=6份；相当于6份材料分给3个部门，每个部门至少分1份，插板法C（5 2）=10种，选B
例2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（ ）种分配方式。 【广州2014】
A.15 B.18 C.21 D.28
解析：每人先分2份、还剩下15-3×2=9份；相当于9份公文分给三个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（8 2）=28种，选D
例3：某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？ 【黑龙江2015】
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：C（10-1，n-1）=36，代入n=8满足，选B
补充：若问最少有多少个科室，因为C（9 2）=36，此时为3个科室。
例4：把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（ ）种。
A.10 B.15 C.20 D.25
解析：第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球，还剩下10-1-2=7个球；相当于把7个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（6 2）=15种，选B
例5：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
A.15 B.28 C.36 D.66
解析：第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球，还剩下10-2+1=9个球；相当于把9个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C（8 2）=28种，选D
例6：现有9块巧克力（其中5块有夹心），若将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人都有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种？
A.6 B.9 C.12 D.25
解析：相当于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块，插板法C（4 2）=6种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可，选A
对于插板法的基础题型来说，最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，即“每组至少一个”。
★插板法技巧进阶篇
①在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。
例7：某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3个部门使用。已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有（ ）种。 【广东2013】
A.9 B.12 C.18 D.27
解析：插板法C（9 2）=36种；然后去掉不满足题意的情况（即有的部门多于5台）：选一个部门C（3 1）、先分给这个部门5台，再把剩下的5台分给3个部门，插板法C（4 2），则不满足题意的情况有C（3 1）×C（4 2）=18种，满足题意的情况有36-18=18种，选C
例8：有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？ 【黑龙江2010】
A.4 B.5 C.6 D.7
解析：
解法一：分类：99+100+101的情况有A（3 3）=6种，100+100+100的情况有一种，共7种，选D
解法二：每个单位先提前分98份，还剩下300-3×98=6份；相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份的情况，C（5 2）-C（3 1）=7种，选D
②有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。
例9：四个小朋友分17个相同的玩具，每人至多分5个，至少分1个，那么有多少种分法？【河南招警2011】
A.18 B．19 C．20 D．21
解析：每个小朋友先分5个、共分了20个，再收回20-17=3个，每人至少交回0个，插板法C（6 3）=20种，选C
例10：某快问快答节目第一关设置4道题，选手答错任意一题则立即停止答题。比赛规定：第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒内（选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒），某位选手通过第一关，答题用时24秒，则该选手在4道题上的答题用时组合有多少种： 【粉笔模考】
A.8 B.15 C.19 D.20
解析：总的时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27秒中去掉3秒，每题可以去0秒、第四题最多去2秒；转化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额都分给第四题的情况，插板法，C（6 3）-1=19种，选C
如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固。
练习1：有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位最少订99份，最多102份。问一共有多少种不同的订法？
A.6 B.7 C.8 D.10
解析：每个单位先提前分98份，还剩下300-3×98=6份；相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分4份，插板法C（5 2）=10种，选D
练习2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：
A.52 B.53 C.54 D.55
解析：每人先分1份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多9份，插板法C（11 2）=55种，去掉有人分到多于9份的情况（即10+1+1）、有C（3 1）=3种，则满足题意的情况有55-3=52种，选A
练习3：某办公室接到18份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有多少种分配方式：
A.43 B.46 C.51 D.55
解析：每人先分2份、还剩下12份；相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（11 2）=55种，去掉有人分到多于8份的情况：先选一个人分给他8份，剩下的4份分给3个人，每人至少1个，有C（3 1）×C（3 2）=9种，则满足题意的情况有55-9=46种，选B
练习4：某办公室接到16份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于5份，则共有多少种分配方式：
A.20 B.27 C.31 D.35
解析：每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C（7 3）=35种，去掉有人交出4份的情况C（4 1）=4种，则满足题意的情况有35-4=31种，选C
练习5：袋中有红、白、黑三种颜色的球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？
A.35 B.45 C.75 D.105
解析：相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（15 2）=105种；去掉某种颜色多于10个球的情况，先选一种颜色C（3 1）、先分给它10个，剩下6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C（5 2）=10，则满足题意的情况有105-3×10=75种，选C。
